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Jul 14, 2023

Sobre la supervivencia del agotamiento cuántico de un condensado después de la liberación de una trampa magnética

Informes científicos volumen 12,

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 13178 (2022) Citar este artículo

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Presentamos observaciones de la cola de alto impulso en la expansión de condensados ​​​​de Bose-Einstein de átomos de helio metaestables liberados de una trampa armónica. El perfil de densidad de campo lejano exhibe características que respaldan la identificación de las colas de la distribución de momento como originadas en el agotamiento cuántico in situ antes de la liberación. Por lo tanto, corroboramos observaciones recientes de colas que se descomponen lentamente en el campo lejano más allá del componente térmico. Esta observación está en conflicto con la teoría hidrodinámica, que predice que el agotamiento in situ no sobrevive cuando los átomos se liberan de una trampa. De hecho, las colas agotadas incluso parecen más fuertes en el campo lejano de lo esperado antes de la liberación, y discutimos los desafíos de interpretar esto en términos del contacto Tan en el gas atrapado. Como complemento a estas observaciones, las simulaciones cuánticas completas del experimento muestran que, en las condiciones adecuadas, el agotamiento puede persistir en el campo lejano después de la expansión. Además, las simulaciones proporcionan mecanismos para la supervivencia y para que las colas de gran cantidad de movimiento parezcan más fuertes después de la expansión debido a una aceleración de los átomos agotados por el potencial de campo medio. Sin embargo, aunque concuerda cualitativamente, el agotamiento final observado en el experimento es mucho mayor que en la simulación.

En la descripción de Bogoliubov de un superfluido interactuante ultrafrío, el estado fundamental se compone de un condensado macroscópicamente ocupado y pares de partículas correlacionadas debido a interacciones de ondas s entre partículas constituyentes1,2. Una consecuencia de estos pares es que los modos excitados de una sola partícula se pueblan incluso a temperatura cero. Este es el agotamiento cuántico del condensado y se presenta como una ocupación de los modos de una sola partícula, que en un gran momento p decae3,4 como \(p^{-4}\).

Desde la realización de los condensados ​​atómicos de Bose-Einstein (BEC, por sus siglas en inglés), ha habido una cantidad considerable de experimentos2,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 y teóricos4, 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33 interés en la teoría de Bogoliubov2,17,32,33,34 (y el agotamiento cuántico específicamente7,10,11, 12,13,35). En contraste con el caso del helio líquido, donde la fracción empobrecida es grande (del orden del 93% del fluido36,37,38) debido a las fuertes interacciones entre partículas, el agotamiento es generalmente muy pequeño (menos del 1%7,12) en gases diluidos que interactúan débilmente. El contacto termodinámico íntimamente relacionado (Tan) también ha recibido una atención creciente4,5,6,7,8,9,14,15,16,18,19,20,22,23,24,25,26,27,28, 29,30,31,35,39,40,41,42, en parte debido a la prueba de Tan de que el contacto está directamente relacionado con la amplitud de la \(p^{-4}\) cola39.

Los experimentos que examinan las colas de gran momento normalmente han empleado resonancias de Feshbach para mejorar las interacciones en gases ultrafríos y producir una fracción empobrecida visible en el campo lejano con técnicas de imagen estándar, pero las colas de ley de potencia han demostrado ser esquivas8,9 en este régimen. Han surgido un puñado de teorías20,21,22 que aclaran el papel que desempeñan las interacciones de muchos cuerpos en la modificación de la distribución del momento durante la evolución que sigue a una extinción hasta una gran longitud de dispersión. Un experimento muy reciente43 fue capaz de detectar pares de átomos con momentos anticorrelacionados en el campo lejano mediante el uso de una red óptica para crear un BEC en un régimen de interacción fuerte de alta densidad. Sin embargo, las mediciones en el régimen de interacción débil han arrojado resultados inesperados. Un experimento anterior informó la presencia de colas similares a leyes de potencia en la distribución de campo lejano después de liberar un BEC de helio metaestable de una trampa óptica armónica7. Esto fue sorprendente porque la sabiduría convencional argumenta que la densidad disminuye adiabáticamente durante la expansión (incluso cuando la liberación de la trampa no es adiabática), lo que motiva una aproximación hidrodinámica en la que se predice que las colas desaparecerán10,23. Además, se informó que las colas eran aproximadamente seis veces más pesadas de lo previsto por la teoría de Bogoliubov. Es importante verificar la anomalía y comprender su origen porque las mediciones de campo lejano juegan un papel central en el estudio de los gases ultrafríos. La perspectiva de extraer pares empobrecidos correlacionados de un estado fundamental de temperatura cero también es conceptualmente, y posiblemente tecnológicamente, interesante en sí misma.

Con estos fines, medimos la distribución de momento de campo lejano de un BEC de helio metaestable (He\(^*~\)) que se expande desde una trampa armónica. Observamos colas en la parte de gran momento de la función de onda de condensado (campo lejano) cuya amplitud depende de forma no lineal de la población de condensado, y cuyo perfil de densidad es consistente con un decaimiento de ley de potencia similar a \(p^{-4}\) , de manera consistente con las predicciones de la teoría de Tan y Bogoliubov. Específicamente, se muestra que la amplitud de las colas de impulso de campo lejano tiene una relación lineal con el producto de la población de condensado y la densidad máxima, como predicen ambas teorías. Sin embargo, existe una diferencia cuantitativa en la amplitud entre los valores predichos y medidos. Nuestras mediciones se complementan con simulaciones numéricas de la dinámica de la distribución del impulso después de la liberación de la trampa utilizando un método Stochastic Time-Adaptive Bogoliubov (STAB) en el marco de P positivo33,44. Estos demuestran un mecanismo de supervivencia asociado con la liberación no adiabática de la trampa y sugieren que las partículas empobrecidas adquieren energía cinética adicional de la energía de campo medio del condensado durante la expansión adiabática posterior. Estos factores dan como resultado una amplificación de la densidad de las colas de impulso de campo lejano en relación con los valores in situ en un factor de hasta aproximadamente dos, y están ausentes de la aproximación hidrodinámica. Sin embargo, incluso teniendo en cuenta estos efectos, la amplitud de las colas medidas sigue siendo significativamente mayor de lo esperado a partir de las simulaciones.

Antes de presentar nuestros resultados, introduzcamos los supuestos teóricos centrales y las predicciones relevantes para este trabajo. El hamiltoniano de un sistema homogéneo de bosones que interactúan se puede escribir en términos de operadores de campo de onda plana \(\hat{a_{{\textbf {k}}}}\), etiquetados por el vector de onda \({{\textbf { k}}}={{\textbf {p}}}/\hbar\), y diagonalizado por la transformación de Bogoliubov a un gas de Bose libre de excitaciones colectivas a través de la transformación del operador \({\hat{b}}_{{ {\textbf {k}}}}^\daga = u_k {\hat{a}}_{{\textbf {k}}}^\daga + v_k {\hat{a}}_{-{{\textbf {k}}}}\)1,45. Las excitaciones colectivas son superposiciones de partículas con momentos opuestos2, y los coeficientes \(u_k\) y \(v_k\) están dados por

donde el denominador es la dispersión de cuasipartículas

determinado por la densidad de partículas n, la masa atómica m y la fuerza de interacción efectiva \(g=4\pi \hbar ^2a/m\), donde a es la longitud de dispersión de la onda s3,45. En el límite de no interacción (\(a\rightarrow 0\)), \(u_k=1\) y \(v_k=0\), por lo que la transformación se reduce a la identidad y la dispersión es la de partículas libres. La ocupación de los modos de momento de una sola partícula se puede encontrar usando la transformación inversa y viene dada por

donde las estadísticas de población de cuasipartículas siguen el conjunto canónico como3,7 \(\langle {\hat{b}}^\dagger _{{\textbf {k}}}{\hat{b}}_{{\textbf {k }}}\rangle = (\exp [\varepsilon (k)/k_B T]-1)^{-1}\). A temperaturas finitas, los modos de cuasipartículas se pueblan térmicamente y agotan el condensado. Incluso a temperatura cero, cuando la fracción térmica desaparece, el término \(v_k^2\) en la ecuación. (5) persiste dando una población de temperatura cero de partículas excitadas4,7,46 que decae como3,7,45 \(\lim _{k\rightarrow \infty }\rho ({{\textbf {k}}})\ propto k^{-4}\). La teoría de Bogoliubov hace predicciones precisas de la población total agotada en condensados ​​de Bose-Einstein atómicos ultrafríos (BEC)10,12 y condensados ​​de excitón-polaritón en sustratos sólidos11.

En el caso de un gas atrapado armónicamente, se puede emplear la aproximación de densidad local (LDA) para calcular la amplitud de la cola \(k^{-4}\) integrando \(v_k^2\) a través de un Thomas– Distribución Fermi7. También se puede calcular la amplitud esperada de las colas utilizando las relaciones termodinámicas entre la energía del campo medio condensado y la distribución de la cantidad de movimiento: Tan mostró que la amplitud de las colas era exactamente la cantidad llamada contacto, que es proporcional a la derivada de la energía con respecto a la longitud de dispersión de la onda s25,39. Para un gas de Bose en equilibrio en una trampa armónica, la amplitud de la cola se puede calcular utilizando los teoremas originales de Tan. La intensidad de contacto de dos cuerpos se define por25,39

que está relacionado con el contacto total (o solo contacto) \({\mathscr {C}} = \int C({{\textbf {r}}}) d^3 {{\textbf {r}}}\) . El contacto se puede derivar de la energía total E a través del teorema de barrido adiabático40,

Aplicando esto a la energía de Thomas-Fermi de un condensado atrapado armónicamente,

donde \(a_{{\text {HO}}} = \sqrt{\hbar /(m {\bar{\omega }})}\) es la longitud del oscilador armónico y \({\bar{\omega }} =\root 3 \of {\omega _x \omega _y \omega _z}\) es la frecuencia de captura geométrica3,45, conduce a la expresión

para el contacto y, por lo tanto, la distribución de momento asintótico (densidad) n(k) del condensado in situ es,

que depende de la densidad pico del condensado armónicamente atrapado, a su vez dada por

Tenga en cuenta que aquí nos referimos a la distribución de momento \(n({{\textbf {k}}})\) en lugar de los números de ocupación \(\rho ({{\textbf {k}}}) = n(k) d^3{{\textbf {k}}}/(2\pi )^3\), y que el número total de átomos en esta normalización es \(N=\frac{1}{(2\pi )^ 3}\int d^3 {{\textbf {k}}}\, n({{\textbf {k}}})\).

Nuestra secuencia experimental comenzó con BEC que constaban de entre \(2\times 10^5\) y \(5 \times 10^5\) \(^4\) \(\hbox {He}^*\) átomos, espín -polarizado en el estado \(2^{3}S_1(m_J=1)\) y enfriado a \(\sim\) 300 nK por enfriamiento evaporativo forzado en una trampa magnética armónica generada por bobinas de campo en un cuadrupolo biplanar Configuración de Ioffe47. Luego, la trampa se apagó con un tiempo de 1/e de \({\tau _{\mathrm{liberar}}}\aproximadamente 38\,\upmu\)s. Se permitió que los condensados ​​se expandieran durante 2 ms antes de transferir aproximadamente una cuarta parte del condensado \(m_J=1\) inicial al estado \(m_J=0\) magnéticamente insensible con un barrido Landau-Zener de radiofrecuencia (RF). para preservarlo contra la distorsión por campos magnéticos perdidos durante la caída libre hacia el detector. Desviamos las nubes \(m_J=\pm 1\) lejos del detector con un esquema de Stern-Gerlach inmediatamente después del pulso de RF activando un campo magnético. El centro de masa de la nube entonces impacta en el detector después de un tiempo de vuelo de \(\tau = 417\) ms después del apagado de la trampa.

Las investigaciones del agotamiento cuántico en He\(^*~\) son un desafío porque la ausencia de una resonancia de Feshbach conocida impide el control sobre el contacto \({\mathscr {C}}\propto ((a N_0)^7{\bar {\omega }}^6)^{1/5}\) a través de la longitud de dispersión a. Dado el pequeño \(a=7.512\) nm48 fijo, probamos la validez de la ecuación. (10) para describir el campo lejano variando la densidad del gas, \(n\propto \left( N_{0}{\bar{\omega }}^3\right) ^{2/5}\) (cf. Ec. (10)). Para lograr esto usamos dos configuraciones de trampas con \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\approx 2\pi (45,425,425)\) Hz (media geométrica \({\bar{\omega }} = 2 \pi \cdot 201\) Hz) y \(\approx \,2\pi (71,902,895)\) Hz (\({\bar{\omega }} = 2\pi \cdot 393\) Hz) donde las frecuencias se conocen dentro del 1% el eje de simetría (débil) es horizontal. Variamos el punto final de la rampa de enfriamiento evaporativo para ajustar el número de átomos en el condensado.

Nuestro experimento utiliza la detección de partículas individuales con placas multicanal y detectores de línea de retardo (MCP-DLD)49 después de un largo tiempo de vuelo (por lo tanto, en el régimen de campo lejano) habilitado por la gran energía interna (19,8 eV)50 del metaestable \(2^{3}S_1\) estado, \(\hbox {He}^*\). Las capacidades únicas de tales configuraciones han permitido la observación de correlaciones de momento de muchos cuerpos51,52 y el efecto Hanbury Brown-Twiss en átomos condensados49,53,54,55,56,57 y cuánticos13,35. Por lo tanto, podemos reconstruir la distribución completa del impulso de un solo átomo en tres dimensiones y examinar las colas diluidas del impulso de campo lejano de las nubes \(m_J=0\) en detalle.

En la Fig. 1 mostramos la densidad empírica de campo lejano n(k) para dos corridas de recolección de datos en los valores extremos de \(n_0\) que usamos. El negro (morado) corresponde a condensados ​​con un promedio de \(3.5 \times 10^5 (4.5 \times 10^5)\) átomos y una fracción térmica del 9% (10%). Las frecuencias de trampa (geométricas) fueron \(2\pi \cdot 201\) y \(2\pi \cdot 393\) Hz, y la longitud de curación \(\xi = \hbar /\sqrt{2mgn_0}\) en el centro de estas nubes eran \(56~\mu {{\text {m}}}\) y \(36~\mu {{\text {m}}}\), respectivamente. Los tres regímenes del condensado, el agotamiento térmico y el agotamiento cuántico abarcan cinco órdenes de magnitud en densidad. La parte térmica de la distribución está bien ajustada por la distribución de cantidad de movimiento de un gas ideal de Bose58

donde la longitud de onda térmica de De Broglie \(\lambda _{dB} = \sqrt{2\pi \hbar ^2/(m k_B T)}\) produce una estimación de la temperatura T que oscila entre 100 y 320 nK en nuestro experimentos Aquí, \(g_{3/2}(\cdot )\) es la integral estándar de Bose, \(\zeta (\cdot )\) es la función zeta de Riemann, y \(N_T\) es el número de átomos en el componente térmico. Tenga en cuenta que para un gas que no interactúa en el límite termodinámico, el número de átomos térmicos es simplemente \({N_T^{\mathrm{id}}} = \zeta (3)(k_B T / \hbar {\bar{\ omega }})^3{=\eta _T N}\), pero para nuestros condensados ​​la temperatura crítica se reduce en \(\approx 20\%\) por interacciones3,45. Tomamos en cuenta esto y el aumento de aproximadamente el doble en la fracción térmica \(\eta _T\) (en relación con el caso de no interacción) usando explícitamente \(N_T\) como parámetro de ajuste. A valores mayores de momento, donde el componente térmico hace una contribución insignificante, aparece una disminución lenta que identificamos como el agotamiento cuántico.

La densidad de campo lejano medida de los momentos de partículas de dos configuraciones de trampa (negra y magenta). Se muestran tres regiones: En k bajo domina la distribución parabólica del BEC. Para k más grande, las partes térmicas (ajustes mostrados por líneas discontinuas) decaen superexponencialmente como \(e^{-k^2}\). Para k aún más grandes, estos dan paso a la supuesta región de agotamiento cuántico. Un ajuste combinado de la forma \(n_T(k) + C_4/k^4\) (líneas verdes de puntos y rayas) produce temperaturas consistentes con el ajuste térmico y también una amplitud \(C_4\) de la cola empobrecida. La línea punteada gris es una guía para el ojo que muestra un decaimiento \(k^{-4}\). Debido a las limitaciones de la geometría del detector (consulte Materiales complementarios para obtener más información), estos perfiles se integraron en dos segmentos esféricos, cada uno de los cuales subtiende un ángulo de \(\pi /6\) radianes con los ejes \(\pm z\) (consulte también la figura 5). El detector muestra signos de saturación para \(k (\lesssim 1.5~\mu {{\text {m}}}^{-1}\)). Estos factores implican que el área total bajo las curvas es menor que el número promedio de átomos atrapados.

Un enfoque estándar para analizar la densidad del momento empírico sería proceder con un ajuste de rutina del histograma del espacio k con un término adicional de la forma \(C_\alpha /k^\alpha\) para estimar los parámetros del supuesto cuanto -Cola empobrecida. Si aumentamos la función de ajuste térmico (Ec. (12)) con un término de ley de potencia según

y deje \(\alpha\) como parámetro libre, el exponente promedio de todas las ejecuciones es 4.2(4). A modo de comparación, el trabajo anterior7 informó colas de ley de potencia con un exponente 4.2(2). A primera vista, uno podría simplemente determinar la amplitud de las colas fijando el exponente en 4, y si lo hacemos, encontramos un \(C_{\alpha =4}\) promedio que es aproximadamente 8(2) veces mayor que el coeficiente predicho por la ecuación. (10), y en general acuerdo con Ref.7. Sin embargo, como detallamos en los materiales complementarios, la covarianza de los parámetros de ajuste C y \(\alpha\), junto con la relación exponencial con la variable independiente k, significa que esto da una subestimación significativa de la incertidumbre en \(C_ \alfa\). En general, se sabe que ajustar las leyes de potencia a los datos es propenso a generar estimaciones sesgadas de los parámetros y a subestimar drásticamente las incertidumbres59,60, especialmente cuando los datos están disponibles durante menos de un par de décadas de rango dinámico.

A continuación, presentamos una serie de líneas de evidencia que respaldan la identificación de estas colas como originadas en el agotamiento cuántico, pero también argumentamos que no hay razón suficiente para suponer que el ajuste con un \(\alpha =4\) fijo es apropiado. . La razón principal de esto último es que se sabe que la distribución de momento de campo lejano es una modificación de la distribución in situ debido a la dispersión de la energía de campo medio condensada en energía cinética. Incluso despreciando este efecto, no es un hecho que la distribución de campo lejano pueda modificarse de tal manera que simplemente aumente la amplitud de las colas sin alterar la forma funcional (es decir, el exponente en este caso). Como señalan los autores de la Ref.59, "En la práctica, rara vez, si acaso, podemos estar seguros de que una cantidad observada se extrae de una distribución de ley de potencia. Lo máximo que podemos decir es que nuestras observaciones son consistentes con la hipótesis de que x se extrae de [...] una ley de potencia". De hecho, este análisis muestra que la distribución de momento de campo lejano es consistente con un exponente de ley de potencia \(3.8\le \alpha \le 4.6\), pero los datos disponibles no pueden determinar con precisión el exponente \(\alpha\) (ni \(C_\alpha\)), como se detalla en el suplemento.

Población de colas de impulso, incluido el exceso en comparación con la teoría de Tan-Bogoliubov. (a) El producto \(N_0n_0\) es un predictor lineal del número de conteos dentro de la región \((k_{{\text {min}}}=6~\mu {{\text {m}}}^ {-1},k_{{\text {max}}}=10~\mu {{\text {m}}}^{-1})\), consistente con la ecuación. (10) (línea naranja continua, líneas discontinuas IC del 95 %). El gradiente \(\Lambda\) en la ecuación. (15) se puede predecir usando la ecuación. (10) (\(\Lambda _{\mathrm{pred}}\) línea morada sólida) pero esto no concuerda con el experimento por un factor de aproximadamente 8. Nuestras simulaciones (línea discontinua, CE en la Fig. 3a) muestran un aumento en conteos después de la liberación, pero por menos que en el experimento. En (b,c) los ajustes lineales a los datos experimentales producen \(\Lambda _{\mathrm{fit}}\) (puntos) que varían con la elección de los límites k (fijando \(k_{{\text {max} }}=10\,\upmu {{\text {m}}}^{-1}\) en (b) y \(k_{{\text {min}}}=6\,\upmu {{\ texto {m}}}^{-1}\) en (c)).A modo de comparación, mostramos predicciones de \(\Lambda\) basadas directamente en la ecuación. (10) (\(\Lambda _{\mathrm{pred}}\), azul, \(n(k)={\mathscr {C}}/k^4\)), junto con las predicciones de la ecuación. (15) usando una función de densidad \(n(k)={\mathscr {A}\mathscr {C}/k^4}\) que tiene un prefactor adicional \({\mathscr {A}}=8(3 )\) (verde) y uno que tiene un exponente modificado de \(\alpha =3.86(2)\) mediante \(n(k)={\mathscr {C}}/k^{\alpha }\) ( amarillo). Una distribución logarítmica normal produce predicciones casi idénticas (rojo, desplazado verticalmente para visibilidad). Las estimaciones de error citadas corresponden al IC del 95 % de los parámetros de ajuste. En (b), la desviación de las predicciones en \(k_{{\text {min}}}\lesssim \,6~\mu {{\text {m}}}^{-1}\) se debe a que el área de recolección comienza a superponerse con la nube térmica.

En lugar de hacer cumplir explícitamente una suposición de descomposición de la ley de potencia, nos enfocamos en otro observable que se puede medir y predecir fácilmente: el número de átomos cuyo vector de onda tiene un módulo en el intervalo \(k\in (k_{{\text {min}} }, k_{{\texto {máximo}}})\),

Tenga en cuenta que la integral de n(k) se realiza más fácilmente en coordenadas esféricas y requiere el jacobiano \((2\pi )^{-3}{d^3}{{\textbf {k}}}\) para garantizar normalización. Para \(k_{{\text {min}}}\) y \(k_{{\text {max}}}\ fijos, Eq. (14) tiene la forma

(cf. Ec. (10)). Por lo tanto, podemos probar la Ec. (15) directamente midiendo el número de conteos detectados en el intervalo \((k_{{\text {min}}},k_{{\text {max}}})\) después de producir un BEC de \(N_0\ ) átomos con densidad máxima \(n_0\). Una ventaja clave de este método es que no se requieren suposiciones teóricas (como el exponente de la ley de potencia) al analizar los datos experimentales, sino solo al calcular la predicción (independiente), es decir, el procesamiento de datos es esencialmente libre de teoría.

Bajo la hipótesis nula (basada en la teoría hidrodinámica) de que el agotamiento in situ no sobrevive a la expansión, \(\Lambda =0\). Además, se esperaría que la mayoría de los tipos de ruido técnico disfrazados de colas de alta energía no sigan la escala \(N_0n_0\) y proporcionen, en el mejor de los casos, una mala correlación con la ecuación. (15). Como mostramos en la Fig. 2, un ajuste lineal de la forma \({\hat{N}}_{k_{{\text {min}}},k_{{\text {max}}}} = \Lambda _{\text {fit}}} n_0 N_0 + \beta\) produce una intersección consistente con cero (\(\beta\)=− 0.9, 95% IC (− 3.1, 1.2)) y una buena correlación (\ (r^2\approx 0.8\), \(p=1\times 10^{-3}\)), proporcionando evidencia que respalda la relación lineal esperada con \(n_0N_0\), y en contra de que las colas de alta energía se deban a algo de ruido técnico. El coeficiente de correlación entre las variables \(N_{k_{\mathrm{min}},k_{\mathrm{max}}}\) y \(N_0n_0\propto (N_0^7{\bar{\omega }}^6 )^{1/5}\) es 0,9. Concluimos que el producto \(N_0n_0\) es un predictor de la población de alta energía, lo cual es consistente con la Eq. (10).

A modo de comparación, un ajuste lineal prueba que el número de átomos \(N_0\) en sí mismo es un mal predictor del número detectado (\(r^2 = 0,05~,p = 0,54\)), al igual que la densidad central \(n_0 \) solo (\(r^2 = 0.4~,p = 0.04\)). En consecuencia, la escala no lineal particular de los conteos detectados con el predictor \(N_0n_0\) es concordante con las colas que se originan en el agotamiento cuántico e inconsistente con cualquier ruido técnico que conozcamos.

El gradiente \(\Lambda _{{\text {fit}}}\) es de particular interés porque se puede predecir usando la ecuación. (14). Dada una región de interés (ROI) sobre la cual contamos los átomos, se puede calcular \(\Lambda _{{\text {pred}}} = 32 \varepsilon a^2(k_{{{\text {min}}} }^{-1}-k_{{{\text {max}}}}^{-1})/7\), donde \(\varepsilon\) es la eficiencia de detección total. En nuestro experimento, \(\varepsilon \approx 0.23(5)\%\) (ver la sección "Métodos" para más detalles). En comparación con el valor predicho \(\Lambda _\mathrm {pred} = 2.7(6) \times 10^{-7}\) (unidades de \(\upmu {{\text {m}}}^3\ )/átomo), encontramos que el ajuste empírico no está de acuerdo con la pendiente predicha por un factor de \({\mathscr {A}}_\mathrm {exp}=\Lambda_{{\text {ajuste}}}/\ Lambda _ {{\text {pred}}}= 8.3\), 95 % IC (5.5, 11), lo que descarta la hipótesis nula.

Si bien este resultado puede parecer que reafirma el enfoque de ajuste mencionado anteriormente, que dio un aumento del coeficiente \(C_4\) por un factor de 8(2), de hecho lo complementa. En este caso, la superpoblación de las colas se mide directamente sin recurrir a suposiciones sobre el comportamiento de la ley de potencias en los datos mismos. La comparación directa de las poblaciones en un intervalo k dado permite una comparación independiente entre la predicción y el resultado medido y busca simplemente responder a la pregunta de si los datos satisfacen el modelo más general de agotamiento cuántico propuesto por la ecuación. (15).

En resumen, hay tres conclusiones sólidas que se pueden extraer de los datos. Primero, la población en las colas de gran cantidad de movimiento depende linealmente del producto \(n_0N_0\), que es una predicción de las teorías de Tan y Bogoliubov y no se asocia fácilmente con ningún otro proceso físico conocido. En segundo lugar, hay unas 8(3) veces más partículas en las colas de alto momento de campo lejano de las que cabría esperar en el mismo intervalo de la distribución in situ. Tercero, los datos son consistentes con las leyes de potencia con exponentes en el rango \(3.8 \le \alpha \le 4.6\).

Curiosamente, si uno fuera a tomar la primera observación como evidencia suficiente (y de hecho independiente) para identificar las colas con el agotamiento cuántico y asumir un decaimiento de ley de potencia de la forma \(C_4 k^{-4}\), entonces uno obtiene un valor de \(C_4\) que es consistente con la regresión contra \(n_0N_0\). Si bien esto es evidencia de que la hipótesis \(\alpha =4\) no es inconsistente con los datos, es esencialmente lo mismo que calcular C a partir de los resultados de la regresión lineal suponiendo \(\alpha =4\). En la Fig. 2b,c, como contrapunto a los ajustes de la ley de potencia sobre \(k_{\mathrm{min, max}}\) mostrados en azul, verde y amarillo, también mostramos, en rojo, las predicciones obtenidas asumiendo log- normalmente distribuida k con parámetros \((\mu ,\sigma ) \approx (1.235, 0.95)\) y normalizada a la amplitud relevante. Esto subraya el desafío de identificar el comportamiento de la ley de potencia en datos de rango limitado, porque aunque la distribución logarítmica normal finalmente diverge de la ley de potencia, lo hace en un dominio mucho más grande que el disponible en cualquiera de los experimentos de Helio (aquí o 7). Estos ajustes apenas difieren en su criterio de bondad de ajuste (el error cuadrático medio) y, por lo tanto, no ofrecen una forma obvia de reconciliar la distribución esperada con estas conclusiones estadísticas divergentes.

Para comprender si el agotamiento podría sobrevivir a la expansión e investigar qué efectos están teniendo lugar durante la liberación inicial, realizamos simulaciones de la expansión BEC a partir de trampas armónicas utilizando el método STAB de primeros principios33,44. Las simulaciones partieron de una trampa en forma de cigarro con parámetros adaptados a las condiciones experimentales. El estado dentro de la trampa antes de la liberación de la trampa en el tiempo \(t=0\) (marcado como CT en la Fig. 3a) era consistente con el teorema de barrido adiabático aplicado al condensado in situ. Después de la expansión de la trampa de cigarros, la amplitud de la cola simulada aumentó y se estabilizó en unos pocos cientos de microsegundos (CE en la Fig. 3a), que es mucho más lento que la escala de tiempo de la desaparición del potencial de la trampa, e implica que las colas de campo lejano se estabilizan en apariencia. mucho antes que el retraso de 2 ms entre la liberación de la trampa y la aplicación de los pulsos de RF y Stern-Gerlach. La figura 3b muestra la evolución temporal de la amplitud de la cola \(C_{\mathrm{sim}}\) extraída de un \(n(k)=C_{\mathrm{sim}}/k^4\) ajustado al simulado densidad. En esta configuración, el valor de estado estacionario de las colas de momento era un factor de \(C_{\mathrm{sim}}/{\mathscr {C}}=\)1,64(9) por encima de las predicciones de la ecuación. (10). Un análisis de la ocupación de las colas según (14), da factores muy similares \({\mathscr {A}}_{\mathrm{sim}}\) para el aumento de la fuerza de las colas (respecto a en -situ predicciones) durante la evolución, como se muestra en la Tabla complementaria S2.

Simulaciones de liberación de la trampa. (a) Valores de estado estacionario del contacto simulado. Las simulaciones de condensados ​​liberados de una trampa en forma de cigarro (CT) son consistentes con la teoría Tan (TT) antes de la liberación y muestran un aumento en el contacto después de la liberación de la trampa (CE). Una relajación lenta de las frecuencias de atrapamiento transversales (CS) muestra una disminución en línea con el valor predicho de la densidad más baja. Las trampas esféricas (ST, SE) carecen de direcciones de confinamiento estricto, en las que un tiempo de interacción más largo evita el escape de partículas empobrecidas como se ve en las trampas para cigarros. (b) La dependencia temporal del contacto se estabiliza después de un tiempo del orden de \(1/\omega _x\), varios cientos de \(\upmu\)s. El contacto expandido es consistentemente alrededor de 1,7 veces la teoría Tan. A modo de comparación, los pulsos de control experimentales se implementan después de 2 ms de expansión. Cuando las frecuencias transversales de captura se reducen lentamente (1,2 ms) a la mitad (línea de puntos), el contacto in situ se relaja en una escala de tiempo más rápida que la rampa.

Para comprender el desacuerdo con la teoría anterior23, que no predecía la supervivencia del agotamiento, también investigamos el efecto de la expansión adiabática en el agotamiento en la trampa. La escala de tiempo de curación característica \(t_{\xi }=\hbar /gn_0=15{-}40\,\upmu \hbox {s}\) en el centro de la nube atrapada es comparable al tiempo de liberación de la trampa \(\ tau _{\mathrm{release}}\), por lo que se justifica la sospecha de que la adiabaticidad se rompe en las simulaciones de liberación de trampas de CE. Por ejemplo, \(t_{\xi }\) es una escala de tiempo característica para la relajación de las correlaciones de densidad debido al agotamiento después de una extinción cuántica61. Para probar la hipótesis de que la diferencia se debe a que nuestro sistema rompe la adiabaticidad asumida en la Ref.23, realizamos simulaciones en las que la trampa no se libera rápidamente, sino que se reduce a la mitad de la fuerza transversal durante un período de tiempo mucho más largo (CS en la Fig. . 3). La expresión in situ (Ec. 9) predice que el agotamiento debería reducir \(\propto {\bar{\omega }}^{6/5}\) a aproximadamente la mitad de su valor original. De hecho, se encontró que el contacto en la trampa \(C_{\mathrm{sim}}\) así como la fuerza de la cola \(N_{k_{\mathrm{min}},k_{\mathrm{max}} }\) de (14) disminuyó aproximadamente como se predijo: vea la línea discontinua en la Fig. 3b y la Tabla complementaria S2, lo que respalda firmemente la hipótesis de que se necesita adiabaticidad para estar de acuerdo con los resultados de la Ref.23.

Para verificar si identificamos correctamente los procesos involucrados en la supervivencia del agotamiento, comparamos la liberación de átomos de las nubes alargadas experimentales con nubes atrapadas esféricamente que tienen la misma densidad central \(n_0\) y número de partículas N. Estas nubes están etiquetadas (ST ,SE) para nubes iniciales y liberadas, respectivamente. Encontramos que la supervivencia de los átomos empobrecidos se reduce en la trampa esférica en comparación con los alargados.

Nuestra comprensión de las dependencias anteriores en las simulaciones es que la supervivencia y el comportamiento de la fuerza de la cola son una consecuencia de la rápida disminución de la trampa y la extinción de la densidad que permite el escape de partículas no condensadas, así como su aceleración por el no -energía de campo medio uniforme del condensado durante la expansión.

En detalle, después de una extinción en el régimen no atrapado, el condensado se expande hidrodinámicamente en escalas de tiempo de \(1/\omega\), y la densidad de agotamiento de equilibrio cae de acuerdo con la caída de la densidad central \(n_0\) en la ecuación. (10). Sin embargo, si la densidad real en los modos del espacio k sigue esta relación de equilibrio depende de la escala de tiempo de reabsorción. Los átomos de agotamiento de momento bajo no pueden escapar del condensado antes de ser reabsorbidos y son absorbidos de nuevo en el condensado de acuerdo con la Ref.23. Sin embargo, si la reabsorción ocurre más lentamente que el cambio de densidad, la caída en el agotamiento será incompleta. Los átomos de alto momento tienen suficiente velocidad para escapar de la nube en expansión sin ser reabsorbidos y, por lo tanto, hacer la transición a átomos libres. En nuestro sistema, como se ve en la Fig. S4 en el suplemento, esto se refiere a partículas con un número de onda del orden de \(k\gtrsim 2~\mu {{\text {m}}}^{-1}\), que en particular incluye las colas de alto impulso que son el foco del experimento. Este es el mismo tipo de mecanismo de escape observado para la aparición de halos de \(k, -k\) átomos emparejados en experimentos de colisión supersónica BEC44,62,63.

Además, un átomo dentro del BEC experimenta una fuerza efectiva del gradiente del potencial de campo medio \({{\textbf {F}}} = -4\pi \hbar ^2 m^{-1}a \nabla n (x,t)\). Esto dota a las partículas empobrecidas que escapan con un mayor impulso. Este fenómeno, denominado "efecto de esquí"64, se ha observado en la parte térmica de la nube en otros experimentos65,66 y en los halos de colisión BEC supersónicos63,67,68. Para una distribución sin escala como la ley de potencia \(k^{-4}\) buscada aquí, tal cambio de momento se manifestará como un aumento de la amplitud de las colas en el campo lejano, explicando así cómo el agotamiento observado puede parecer más fuerte que in situ. La estimación aproximada más simple de este efecto se puede hacer agregando una energía de \(gn_0\) a cada átomo durante la expansión, obteniendo un perfil de densidad modificado de la forma \(n(k)\rightarrow \approx {\mathscr {C }}k/(k^2-2gn_0m/\hbar ^2)^{5/2}\). Esto conduce, por ejemplo, a una duplicación del contacto aparente \(C_{\mathrm{sim}}\) en \(k\approx 6/\upmu\)m para nubes con \(n_0=39\,\upmu \mathrm{m}^{-3}\). Por tanto, esta modificación por sí sola no es suficiente para explicar el exceso de recuentos en la región de detección.

Un tercer elemento es que es mucho más fácil que los átomos agotados escapen y la aceleración es mayor a lo largo de los ejes estrechamente confinados de una nube con forma de cigarro porque las distancias \(R_{\perp }=(1/\omega _{y ,z})\sqrt{2gn_0/m}\) se reducen en \({\bar{\omega }}/\omega _{y,z}\), mientras que las velocidades medias iniciales de agotamiento in situ \(v\ sim \sqrt{2gn_0/m}\) son isótropos. De hecho, las simulaciones muestran que las nubes esféricas (SE) exhiben un efecto mucho más débil que las nubes alargadas (CE) de acuerdo con el tiempo de escape más largo. Este efecto de anisotropía también se presenta como un aumento en \(C_{{\text {sim}}}\) y \({\mathscr {A}}_{\mathrm{sim}}\) para regiones de recolección de simulación (ROI) que incluyen un rango más estrecho de ángulos alrededor del plano de reventado estrecho. Nuestra capacidad para probar esto experimentalmente fue limitada porque los átomos con momentos mayores que aproximadamente 5 \(\mu {{\text {m}}}^{-1}\) en el plano horizontal se expandieron más allá de la superficie activa del detector. Por lo tanto, solo obtenemos evidencia débil de tal anisotropía en los datos experimentales, que se analizan en el Material complementario.

La imagen anterior está corroborada por otra observación dentro de las simulaciones: durante la expansión observamos una disminución en el número total de partículas agotadas (reabsorción) como se ve en la Tabla complementaria S3 al comparar los valores CE con CT y SE con ST de \(N_B\ ), y un aumento simultáneo de la población de k grande (forzamiento) descrito por \(C_{\mathrm{sim}}\). También se investigó un modelo de juguete de \(k,-k\) modos de empobrecimiento en un gas uniforme que experimenta un cambio externo en la densidad de fondo para verificar nuestra interpretación de los procesos involucrados.

El mecanismo de reabsorción y las características cualitativas del escape del agotamiento del condensado discutido anteriormente se pueden ver en un modelo de juguete de dos modos k y \(-k\) Bogoliubov en un volumen uniforme de gas a temperatura cero cuando la densidad de fondo se apaga. debido a factores externos, como se describe en el material complementario. La "caricatura" más simple, cuando la densidad \(n_0\) se reduce a \(n'

Aquí, \(\varepsilon _0(k)\) y \(\varepsilon (k)\) están dadas por (3) usando los valores iniciales de \(n_0\) y n posteriores de densidad, respectivamente. La reabsorción se produce entonces a través de la caída inicial de las oscilaciones de Rabi que se ven en la Fig. 4a. Las oscilaciones de Rabi se encuentran entre las dos superposiciones correspondientes al estado fundamental de Bogoliubov inicial y al final. Sin embargo, en la expansión real puede suceder que las etapas posteriores (retorno) de las oscilaciones de Rabi nunca ocurran si la densidad cae más rápido que la frecuencia de oscilación; aproximadamente \(\omega _{\perp }\gtrsim 2\varepsilon (k)\).

Simulaciones de modelos de juguete para los modos k y \(-k\) en un gas uniforme inicialmente en el estado fundamental de Bogoliubov. ( a ) Comportamiento después de una extinción de "caricatura" a la mitad de la densidad, según la ecuación. (16) para modos con \(k\xi =0.02,0.04,\dots,0.18\). Los paneles restantes se refieren al mejor modelo de juguete de Eqs. (S10, S17) con parámetros como la simulación completa con \(\omega =902 \times 895 \times 71\) Hz, \(N=455852\), \(n_0=43.66/\upmu \text {m}^ 3\) densidad máxima, y ​​\(\tau _{\mathrm{release}}=38\,\upmu \hbox {s}\), y muestran la evolución de la ocupación del modo en relación con el valor inicial (la tasa de supervivencia). (b) Para diferentes ubicaciones iniciales en el condensado en la dirección estrecha: \(R_0=y/R_{\perp }\) donde \(R_{\perp }=(1/\omega _y)\sqrt{2gn_0/m }\), y la inicial \(k=1.5/\upmu \hbox {m}\). (c) Evolución de la ocupación relativa para diferentes velocidades de rampa \(\tau _{\mathrm{liberación}}\). Se observan ciclos de reabsorción para las rampas lentas. ( d ) Tasa de supervivencia final para los mismos parámetros. (e) Muestra la dependencia de la tasa de supervivencia final de la relación de aspecto de la trampa \(\lambda\), cuando la densidad central inicial \(n_0\) se mantiene constante. La línea discontinua magenta indica el \(\lambda =12\) experimental (como las simulaciones CE), la línea discontinua negra una trampa esférica \(\lambda =1\) (como las simulaciones SE).

Las Figuras 4b-e muestran el comportamiento de un modelo de juguete más cuidadoso dado por las Ecs. (S10) y (S17) (que requieren integración numérica) en los que la densidad de fondo decae de manera dependiente del tiempo que al menos se aproxima cualitativamente a una parte significativa de lo que sucede durante la liberación. El panel (b) se refiere al escape de partículas que comienzan en las partes exteriores de la nube (\(R_0=y/R_{\perp }\gtrsim 0.5)\). Los paneles (c, d) muestran la dependencia de la supervivencia de la velocidad de la rampa que apaga la trampa, lo que indica que las velocidades de rampa \(\tau _{\mathrm{liberar}}\lesssim 100\,\upmu \hbox {s }\) son en su mayoría neutrales para el efecto, pero las rampas más lentas suprimen fuertemente el escape. El panel (e) considera la tasa de supervivencia para diferentes relaciones de aspecto de trampa, incluido el caso de \(\lambda =12\) como en el experimento (CE) y el caso esférico (SE). Las trampas alargadas ayudan mucho a la supervivencia.

Todavía faltan muchos efectos en el modelo de juguete en comparación con las simulaciones STAB (átomos de alto impulso en trayectorias atrapadas temporalmente fuera del condensado en el momento de la liberación, vuelo multidireccional de los átomos agotados, reducción del esquí debido al colapso simultáneo de la densidad del condensado, energía -la incertidumbre del momento, el efecto del potencial de captura remanente en los átomos agotados, por nombrar algunos) y la tasa de supervivencia es menor que en las simulaciones 3D completas. Sin embargo, brinda una primera base cualitativa para los efectos de escape que se ven en las simulaciones completas de muchos modos.

Encontramos que el número de átomos en las colas k grandes en el campo lejano es consistente con la escala de amplitud de la cola como una función lineal del producto \(N_0n_0\propto (N_{0}^7{\bar{\omega }}^6)^{1/5}\), en línea con la teoría del contacto de Tan (Ecs. 10, 14). No se puede esperar que las poblaciones térmicas ni una serie de efectos técnicos (imágenes, procesos de partículas individuales, ruido de fondo) tengan la misma escala \(N_0n_0\). Sin embargo, el tamaño del efecto es significativamente diferente de lo que se esperaba ingenuamente de los valores in situ por un factor de orden 8(3) y de los valores simulados por un factor de 5(3) que no se explica por ningún efecto sistemático obvio.

El experimento anterior de Chang et al.7 también observó la escala \(N_0n_0\) y un exceso por un factor de aproximadamente 6 que cae dentro de nuestras barras de error. Sin embargo, investigaciones recientes35 encontraron que esto estaba correlacionado con la presencia de una pequeña fracción de impurezas que constaba de \(m_{j}=0\) átomos (\(\sim \,1\)%) en su nube atrapada ópticamente, que era de lo contrario, espín polarizado en el estado \(m_{j}=1\). Cuando la fracción de impurezas se redujo al 0,05%, ya no se observó supervivencia de la cola. Por el contrario, nuestro experimento se lleva a cabo en una trampa magnética, que no puede confinar ningún estado de espín que no sea el estado \(m_{j}=1\). Por lo tanto, nuestros resultados no pueden explicarse por la presencia de impurezas atrapadas similares.

Si bien las cuasipartículas térmicas en la imagen de Bogoliubov simplemente se asignan a la población térmica de partículas constituyentes del mismo momento (ver, por ejemplo, 45, Cap. 8.3. o Ref.2), una población térmica remanente no es un buen candidato para explicar las observaciones. . Esto se debe a que decae superexponencialmente con k (distribución de Bose-Einstein) y, por lo tanto, no tiene en cuenta los átomos que observamos más allá de \(k\gtrsim 6~\mu {{\text {m}}}^{-1 }\), aunque está sujeto al mismo forzamiento de campo medio que el agotamiento65. Podemos demostrar esto con un simple cálculo, observando que en términos físicos la energía máxima que puede impartir el "efecto de esquí"64 es \(\mu =gn_0\), donde \(n_0\) es la densidad inicial en el centro de la nube. Para un átomo con cantidad de movimiento \(k=6\,\upmu {{\text {m}}}^{-1}\), en el borde de la región térmica en la nube más densa consideramos (44 \(\upmu {{\text {m}}}^{-3}\)), la energía adicional \(\mu\) imparte como máximo un cambio de impulso de orden 0,7 \(\upmu {{\text {m}}}^ {-1}\), que es insuficiente para dar cuenta de la población detectada hasta \(k=10\,\upmu {{\text {m}}}^{-1}\). El cambio de fonón/partícula tampoco es responsable de las inflexiones vistas en k alto en la Fig. 1 porque este cambio ocurre en \(k\sim \,1/\xi \approx 2\,\upmu \mathrm{m}^{ -1}\).

Otra explicación candidata a considerar sería un gran agotamiento producido después de la liberación en el condensado de especies mixtas de corta duración (donde las nubes \(m_J=0,1\) y \(-1\) se superponen después del barrido Landau-Zener) . Esto podría tener la escala \(N_0n_0\) observada. Sin embargo, la expresión para el contacto en un gas bosónico de especies mixtas30 se puede combinar con la energía de una mezcla condensada45 para mostrar que el contacto en los sistemas de espín mixto está limitado desde arriba por el contacto del mismo sistema polarizado en la parte más fuertemente polarizada. -estado interactuante25. Las longitudes de dispersión entre espines \(a_{ij}\) (entre los átomos de He\(^*~\) en los estados de espín i y j) no están completamente caracterizadas por experimentos, pero se puede estimar que son \(a_{ 11}=a_{-1-1}=a_{01}=a_{0-1}\aprox. 140~a_0\), \(a_{00}=120~a_0\) y \(a_{1-1 }\approx 60~a_0\), en términos del radio de Bohr \(a_0\)69. Por lo tanto, el contacto en un condensado de He\(^*~\) se maximiza cuando la nube está puramente polarizada en el estado \(m_J=1\). Por lo tanto, se predice que cualquier mezcla de estados de espín de He\({}^*\) tendrá un contacto más bajo (y, por lo tanto, colas menos pobladas) que el condensado inicial, lo que parece descartar esta ruta para explicar nuestras observaciones.

Por otro lado, las simulaciones y el modelo de juguete demuestran una ruta de escape de los átomos de agotamiento rápido de la nube e indican que la supervivencia del agotamiento cuántico en el campo lejano es posible cuando la liberación no es adiabática, pero no como un mapeo directo en la densidad de campo lejano. Esta última se debe a la dispersión de la energía del campo medio en energía cinética, que imparte cierta aceleración a los átomos durante las primeras etapas de la expansión65

Por lo tanto, podemos suponer que las colas observadas experimentalmente son de hecho un remanente del agotamiento cuántico (según la escala observada con \(N_0n_0\) y \(\approx k^{-4}\) que coincide con la teoría Tan, cualitativa similitud en el comportamiento de las simulaciones y falta de contrahipótesis convincentes), aunque sujeto a algún efecto físico durante la expansión o alguna mejora de desequilibrio en el estado atrapado.

En conclusión, encontramos evidencia estadísticamente sólida de que el agotamiento cuántico puede, notablemente, sobrevivir a la expansión y dilución de su condensado original bajo ciertas condiciones. Nuestras simulaciones también demuestran un mecanismo por el cual los átomos empobrecidos cuánticos no condensados ​​de una sola especie pueden ser visibles en la distribución de momento de campo lejano, y que la aproximación hidrodinámica no captura suficiente información de longitud de onda corta para hacer predicciones detalladas sobre el momento alto. comportamiento. Por lo tanto, encontramos una explicación parcial para la desviación experimental de la distribución de campo lejano de las imágenes in situ e hidrodinámicas, aunque hay una discrepancia no explicada en este momento entre la teoría y el experimento en cuanto a la cantidad de este crecimiento. Los resultados informados aquí amplían el creciente cuerpo de datos y conocimientos sobre el comportamiento un tanto misterioso del agotamiento cuántico de campo lejano7,13,23,35.

Dado que el mecanismo exacto responsable de los efectos de las impurezas observados en la Ref.35 sigue sin reconocerse, no está claro si también puede ser responsable de nuestras mediciones de la fuerza de la cola muy por encima de la simulación de una sola especie. Nuestro experimento no involucra impurezas en la nube atrapada inicial.

Nuestra secuencia experimental para mediciones, como se describe en la sección "Mediciones experimentales" anterior, se muestra esquemáticamente en la Fig. 5.

Preparamos nuestros BEC mediante enfriamiento por evaporación forzada en una trampa magnética armónica con frecuencias de trampa \(\approx (45,425,425)\) Hz y una polarización de CC estabilizada por nuestras bobinas de compensación de campo auxiliares47,70. Para la trampa estrecha, aumentamos la corriente de la bobina después de la secuencia de enfriamiento para obtener frecuencias de captura \(\approx \,(71,902,895)\) Hz, aumentando la corriente como una función de paso sigmoide para minimizar las oscilaciones dentro de la trampa. Tenga en cuenta que el eje débil (x) de la trampa es horizontal, con un estrecho confinamiento vertical. El pulso de RF fue creado por un generador de funciones, amplificado y aplicado a la cámara de experimentos por una antena en espiral insertada en la carcasa de la bobina BiQUIC. El pulso pasó de 1,6 a 2,6 MHz durante 1 ms y se centró en la resonancia entre los estados \(m_J\). La determinación de las eficiencias de transferencia \(\eta _J\) para cada uno de los estados \(m_J\) se analiza a continuación. El barrido fue \(10^6\) veces más ancho que el ancho de RF del BEC para garantizar una transferencia uniforme en todos los momentos. Inmediatamente después del barrido de RF, las bobinas de polarización se apagan y las bobinas de empuje auxiliares en los ejes vertical (Z) y horizontal débil (X) se activan usando un interruptor MOSFET rápido para implementar una desviación de Stern-Gerlach de \(m_J = - 1,\) y \(+1\) átomos, de modo que solo los átomos de estado \(m_J=0\) alcanzan el detector. El pulso Stern-Gerlach (SG) se diseñó aumentando la duración del pulso hasta que las nubes \(m_j=\pm 1\) recibieron la velocidad suficiente para alcanzar los bordes del detector (\(\approx 10\) cm/s) , y luego duplicando la corriente que pasa a través de las bobinas generadoras de campo.

Utilizamos una placa multicanal de 80 mm de diámetro y una pila detectora de línea de retardo49 ubicada 848 mm debajo de la trampa, que registra los tiempos de llegada y las posiciones (t, x, y) de cada átomo. La velocidad de cada átomo relativa al centro de masa de cada nube se calcula mediante \((v_x,v_y,v_z) = t_{i}^{-1}(x_i-{\bar{x}},y_i-{ \bar{y}},\tfrac{1}{2}g_0(t_{cen}^2-t_{i}^{2}))\), donde \(g_0\) es la aceleración gravitatoria local, la overbar denota el promedio dentro del disparo y \(t_{cen}\) es el tiempo de vuelo del centro de masa de la nube. El impulso de campo lejano se obtiene así a través de \(m{{\textbf {v}}} = \hbar {{\textbf {k}}}\), teniendo en cuenta que esto no se puede identificar con el impulso in situ (ver "Sección de discusión). Las resoluciones espacial y temporal del detector son \(100\,\upmu \hbox {m}\) y \(3\,\upmu \hbox {s}\), respectivamente71. Se intercalaron conjuntos de diez corridas experimentales con mediciones de calibración para determinar la variación de disparo a disparo en el número de átomos, las frecuencias de captura, la eficiencia de transferencia del estado magnético y las contribuciones de ruido de la manera descrita en el material complementario.

La eficiencia cuántica del detector (QE) de \({\eta _Q=}8(2)\%\) se determinó a partir del análisis del parámetro de compresión de los átomos correlacionados en los lados opuestos de los halos de dispersión72,73,74. Un segundo factor que afecta la eficiencia de recolección total \(\varepsilon\) es que el campo de visión del espacio k está restringido por el radio del detector a \(k\lesssim \,5 /\upmu \mathrm{m}\) en el plano (x, y), que es apenas suficiente para llegar más allá del borde de la región térmica. Por lo tanto, enfrentamos una compensación en la elección de \(k_{{\text {max}}}\), por lo tanto, definimos los límites de nuestra región de interés (ROI) por el ángulo de elevación mínimo \(\phi _c=\pi /3\) rad sobre el plano (x, y) y un límite superior de \(k_{{\text {max}}} = 10\,\mu {{\text {m}}}^{-1} \) (más allá del cual la relación señal/ruido se vuelve demasiado pobre). Esto equivale a un ROI que consta de dos segmentos esféricos orientados verticalmente, cada uno con medio ángulo \(\pi /6\) desde el eje z, que abarca un ángulo sólido total de \({\Omega _{ROI}=4\pi (1-\sin {\phi _c})=}0,13 \times 4\pi\) estereorradianes.

También debemos tener en cuenta la eficiencia de transferencia de estado de \({\eta _0=}25(2)\)% durante el barrido de RF y combinar todos estos factores en la eficiencia total \(\varepsilon {=\eta _Q\ eta _0(1-\sin {\phi _c})}\approx \,0.23(5)\%\). La incertidumbre dominante en la eficiencia de recolección \(\varepsilon\) es el error del 25% en la eficiencia cuántica del detector (QE), mientras que los otros factores (ángulo de corte \(\phi _c\) y eficiencia de transferencia \(\eta _0\ )) se conocen con mayor precisión.

Realizamos el análisis de las colas de agotamiento descrito anteriormente para un rango de \(\phi _c\) y valores de QE \(\eta\) y encontramos que el exceso de conteos (expresado como \(\Lambda_{{\ text {fit}}}/\Lambda _{{\text {pred}}}\)) no se vio significativamente afectado. Esto se resume en la Tabla complementaria S1.

Esquema de la secuencia experimental. Un BEC se libera de una trampa armónica (a) y se expande durante la caída libre antes de dividirse en una superposición de los estados \(m_J\in \{-1,0,1\}\) (b) por un chirrido de RF. Un gradiente de campo magnético separa las nubes (c) asegurando que solo la nube \(m_J=0\) magnéticamente insensible aterrice en el detector (d), a partir del cual se reconstruye la información del momento. Debido al radio detector finito, la región de recolección en el espacio de momento está restringida a dos segmentos esféricos orientados verticalmente (región sombreada) cuyo límite subtiende un ángulo \({\phi _c}=\pi /3\) con la horizontal ( plano x, y). El agotamiento cuántico se encuentra en las colas diluidas con un gran impulso \(\gtrsim 6\mu {{\text {m}}}^{-1}\) (ver Fig. 1).

El método STAB (Stochastic Time-Adaptive Bogoliubov)33,44 utiliza la representación P positiva75,76 para describir cuasipartículas de Bogoliubov alrededor de un condensado que evoluciona dinámicamente32. Esto permite un tratamiento sencillo de condensados ​​no homogéneos y en evolución con su agotamiento cuántico asociado, sin necesidad de diagonalizar las ecuaciones de Bogoliubov-de Gennes. Los sistemas considerados aquí requieren modos \(4{-}6 \times 10^6\) para la simulación, por lo que es muy importante evitar la diagonalización. El uso anterior del método STAB33,44,63,67,74,77,78,79 ha sido de acuerdo con las ecuaciones descritas en detalle en la Ref.33 que se basaba en una separación del condensado y las cuasipartículas de Bogoliubov en el espacio k que surgieron de las condiciones iniciales y la dinámica del sistema. Aquí esto no ocurre y hay una superposición significativa en el espacio de momento. La formulación STAB estándar conduce a una amplificación no física de la parte del campo de Bogoliubov que se superpone con el condensado. Por lo tanto, se requiere una teoría que imponga explícitamente la ortogonalidad entre los modos condensado y Bogoliubov. Resumimos nuestro enfoque aquí, con algunos detalles técnicos en el material complementario. Los detalles de la derivación y la evaluación comparativa adecuada del método modificado se informarán en la Ref.80.

En términos de operadores, el campo de Bose de los átomos \(\widehat{\Psi }({\mathbf {x}},t)\) se escribe como

donde \(\phi ({\mathbf {x}},t)\) es el parámetro de orden del condensado descrito en el espacio tridimensional \({\mathbf {x}}\), y \(\widehat{\Psi } _B({\mathbf {x}},t)\) es un campo de fluctuación de operador relativamente pequeño. El requisito de pequeñez se puede escribir

es decir, \(N_B\) el número de partículas en el campo de Bogoliubov es pequeño en general, pero localmente la densidad del campo de Bogoliubov no necesita ser más pequeña que el condensado—\(\delta _B\) es el parámetro pequeño de la teoría81. La condición (19) permite descartar órdenes terceros y superiores de \(\widehat{\Psi }_B\) en el hamiltoniano efectivo (la aproximación de Bogoliubov). Una segunda condición, no aplicada en STAB estándar, pero presente en sabores más precisos de la teoría de Bogoliubov es

lo que impone la ortogonalidad y evita la filtración de átomos condensados ​​en el campo de fluctuación \(\widehat{\Psi }_B({\mathbf {x}},t)\).

Se supone que el parámetro de orden de condensado \(\phi ({\mathbf {x}},t)\) evoluciona de acuerdo con la ecuación de Gross-Pitaevskii (correcto al orden principal, dado (19)):

y se normaliza al número total (conservado) de partículas \(\int d^3{\mathbf {x}}\ |\phi ({\mathbf {x}},t)|^3=N\). El \(g=4\pi \hbar ^2a_{1,1}/m\) es la interacción de contacto de onda s entre átomos de He\({}^*\) en el estado inicial \(m_J=1\) (tomamos \(a_{1,1}=7.51\)nm), y \(V({\mathbf {x}},t)\) es el potencial de trampa con una frecuencia dependiente del tiempo en general. Luego representamos las cuasipartículas de Bogoliubov utilizando la representación de P positiva33,75, lo que conduce a las siguientes ecuaciones de movimiento:

Aquí las amplitudes ket \(\psi _B({\mathbf {x}},t)\) y bra \({\widetilde{\psi }}_B({\mathbf {x}},t)\) proporcionan la Representación P positiva del campo de Bogoliubov \({\hat{\Psi }}_B({\mathbf {x}},t)\) en el espacio 3D. Utilizamos el procedimiento de integración estocástica robusta descrito en Ref.82. El \(\xi ({\mathbf {x}},t)\) y \({\widetilde{\xi }}({\mathbf {x}},t)\) son campos independientes de ruido gaussiano blanco de cero media y varianza:

Se genera un conjunto de trayectorias de campo con ruido independiente en cada trayectoria y en el estado inicial de cada trayectoria para representar el campo de Bogoliubov. Usualmente usamos trayectorias \({\mathscr {S}}=4000\). En particular, las Ecs. (22) y (23) permiten no solo la producción de cuasipartículas adicionales de Bogoliubov reducidas cuánticamente del condensado, sino también su reabsorción. El principal elemento adicional en (22) y (23) en comparación con las ecuaciones STAB estándar79 es la proyección \({\mathscr {P}}_{\perp }\) que impone el requisito de ortogonalidad (20) y evita la mencionada amplificación del campo Bogoliubov donde se superpone con el condensado. La proyección \({\mathscr {P}}_{\perp }\) de un campo \(f({\mathbf {x}})\) se puede realizar eficientemente mediante

La parte cinética de la evolución Eqs. (21)–(23) también se lleva a cabo de manera eficiente mediante un enfoque de paso dividido que evalúa los términos cinéticos en el espacio k y el resto en el espacio x, moviéndose entre el espacio k y el espacio x usando una transformada rápida de Fourier. El cálculo de observables se describe en el Material complementario.

Nuestras simulaciones tienen como objetivo estudiar la evolución de las partículas de agotamiento cuántico en \(\widehat{\Psi }_B\) después de su liberación de la trampa. Usamos una condición inicial de temperatura cero, ya que el objeto es estudiar el comportamiento de las colas de alto impulso más allá del borde de la nube térmica, en las que los efectos \(T>0\) son insignificantes. El estado inicial \(T=0\) también es más sencillo de obtener, lo que permite usar valores k más bajos para acceder a las colas \(k^{-4}\), ya que no están oscurecidas por la nube térmica más fuerte en momentos intermedios. Esto reduce significativamente el tamaño de la red computacional necesaria. Para las bajas temperaturas en el experimento, no esperamos ninguna interacción significativa entre el comportamiento de la nube térmica y los átomos agotados porque ambos están bien aproximados por la aproximación de Bogoliubov que ignora las interacciones entre los modos excitados. Por lo tanto, el descuido de la nube térmica no afecta significativamente las propiedades del mayor agotamiento k o su evolución.

Sin embargo, no se puede utilizar el estado fundamental de Gross-Pitaevskii estándar, ya que tiene un 100 % de condensación y ningún agotamiento cuántico. La tarea de generar una nube con el agotamiento apropiado en un sistema no uniforme tan grande resulta no ser trivial. Conceptualmente, el problema es simple: diagonalizar el hamiltoniano de Bogoliubov y dar la bien conocida ocupación de Bogoliubov \(T=0\) a cada modo de cuasipartícula. Sin embargo, para un sistema con \(10^6\) modos, la diagonalización no es una buena opción. Nuestra solución a esta situación es hacer una extinción cuántica calibrada desde la solución de Gross-Pitaevskii hasta las ecuaciones de movimiento completas de Bogoliubov, lo que proporciona un estado con una cantidad apropiada de agotamiento cuántico. La técnica se describe en detalle en el Material complementario.

Se realizaron varios tipos de simulaciones, con etiquetas abreviadas según la Fig. 3, y se resumen en la Tabla complementaria S3:

(CE) Liberación de átomos de la trampa, como en el experimento. Aquí el potencial se redujo exponencialmente

con la constante de tiempo \(\tau _{\mathrm{release}}=37.5\,\upmu\)s, emparejada con el experimento. Las frecuencias trampa iniciales fueron \(\omega =425 \times 425 \times 45\) Hz y \(\omega =902 \times 895 \times 71\) Hz, y se simularon dos variantes del estado inicial: una baja densidad y una nube de alta densidad.

Disminución lenta de las frecuencias transversales de atrapamiento por un factor de dos. Aquí aumentamos la trampa de la siguiente manera:

con escalas de tiempo del orden de 1 a 2 ms (consulte la Tabla complementaria S3). Las simulaciones se llevaron a cabo hasta \(t=t_{\mathrm{ramp}}\) cuando la frecuencia de la trampa transversal era la mitad de la original.

Liberación de trampas de nubes esféricas. La distribución de velocidades de los átomos de agotamiento es isotrópica in situ y está dada por \(mv^2/2 \approx gn_0\). Sin embargo, la distancia a recorrer para escapar de la reabsorción depende de la forma de la nube. En particular, el escape se hace más fácil en las direcciones estrechas de la trampa (menos distancia para viajar) y más difícil en la dirección larga de la trampa. Aquí usamos nubes atrapadas esféricamente que tienen la misma densidad central \(n_0\) y número de partículas N. Estas nubes tenían una frecuencia de captura isotrópica \({\overline{\omega }}=(\omega _x\omega _y\omega _z)^ {1/3}\) y están etiquetados (ST). La liberación de la trampa (SE) siguió a (26) como antes.

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Nos gustaría agradecer a David Clement, Jean Dalibard, Karen Kherunstyan y Raphael Lopes por sus útiles debates. Este trabajo fue apoyado por el Consejo de Investigación Australiano (ARC) Discovery Project Grants No. DP160102337 y No. DP190103021. SS H recibió el apoyo de DECRA DE150100315, JAR, DKS de Australian Postgraduate Award (APA) y KFT de Australian Government Research Training Program (RTP) Scholarship. Las simulaciones por PD fueron apoyadas por las subvenciones del Centro Nacional de Ciencias (Polonia) No. 2018/31/B/ST2/01871 y 2012/07/E/ST2/01389.

Escuela de Investigación de Física, Universidad Nacional de Australia, Canberra, 0200, Australia

JA Ross, DK Shin, KF Thomas, BM Henson, SS Hodgman y AG Truscott

Instituto de Física, Academia Polaca de Ciencias, Aleja Lotników 32/46, 02-688, Varsovia, Polonia

Padre Deuar

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Los datos fueron recopilados y analizados por JAR, DKS, KFT y BMH bajo la supervisión de SSH y AGTPD realizó las simulaciones. Todos los autores contribuyeron a la interpretación de los resultados. JAR y PD escribieron el documento con aportes de todos los autores.

Correspondencia a AG Truscott.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Ross, JA, Deuar, P., Shin, DK et al. Sobre la supervivencia del agotamiento cuántico de un condensado después de la liberación de una trampa magnética. Informe científico 12, 13178 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-16477-9

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Recibido: 16 diciembre 2021

Aceptado: 11 julio 2022

Publicado: 01 agosto 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-16477-9

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